Modèle PC30

PC30 pour Papier Crayon 30 secondes !
Mon modèle PC30 est le pricer options le plus simple et le plus rudimentaire du monde !

Le PC30 permet de pricer avec un morceau de papier et un crayon un Call européen à la monnaie 100, de 1 à 12 mois de maturité, de 10% à 30% de volatilité, avec un taux d’intérêt faible de l’ordre de 2%.
La précision diminue avec un taux qui s’éloigne des 2%.
Une règle simple permet de passer du Call au Put, et un second tableau permet d’estimer le delta.

Mode d’emploi :
- inscrire en colonnes les maturités en mois, 1, 3, et 6 en espaçant les colonnes
- inscrire en lignes les volatilités, 10%, 20%, et 30%, en espaçant les lignes
- remplir la première ligne par la suite 1, 2, 3
- remplir la première colonne par la suite 1, 2, 3
- remplir les 2 autres lignes en poursuivant la suite : 2, 4, 6  et  3, 6, 9
- pour ajouter la colonne 12 mois, il suffit de poursuivre la suite de chaque ligne en ajoutant 1 (1, 2, 3, 5)

Le tableau est donc mnémotechnique en partant d’une suite 1, 2, 3.
Pour trouver le prix d’un Call à la monnaie 100, volatilité 22%, maturité 5 mois, il suffit d’interpoler graphiquement comme indiqué sur le tableau suivant :
 

En plaçant approximativement la maturité et la volatilité, on définit pour la maturité souhaitée une borne haute (pour une vol de 20%, on obtient un prix entre 4 et 6, plus proche de 6, disons 5.5), et une borne basse (pour une vol de 30%, on obtient un prix entre 6 et 9, plus proche de 9, disons 8).
Pour la volatilité souhaitée de 22%, on aura donc un prix entre 5.5 et 8, plus proche de 5.5, disons 6 à 6.10.

Une vérification par un calcul de Black & Scholes donne un prix de 6.06 : la prévision du PC30 est largement suffisante pour être exploitée en pratique (sauf besoins précis, comme de l’arbitrage), notamment lorsqu’on connaît la largeur des fourchettes de cotation sur les marchés d’options.

Enfin, ce prix de 6 environ est appliqué à un Call à la monnaie 100 : pour un Call à la monnaie 50, le prix serait de 3, pour un Call à la monnaie 25, il serait de 1.5.


Pour pricer le prix du Put, il suffit de se remémorer la différence entre un Call et un Put : un Call contient un avantage de trésorerie (on paye le strike plus tard, à l’échéance), tandis que le Put contient un inconvénient de trésorerie (on ne touchera le strike que plus tard).
La différence entre un Call et Put est donc une différence de trésorerie prorata temporis.
La relation de parité Call / Put postule : C - P = S - K.e-rt  (ici, à la monnaie, S=K), ce qui peut se traduire par “l’écart Call / Put est égal à la trésorerie générée par un placement au taux r sur la période”.

Par souci de simplification, le PC30 calcule cette trésorerie en taux simple (et non continu, avec l’exponentielle), avec un taux de 2% environ.
Ainsi, notre Call 100/22%/5 mois valant 6, le Put vaut 6 - 2%.100.5/12
Sur 5 mois, la trésorerie vaut 0.83, disons 0.8, ce qui donne un Put à 6 - 0.8 = 5.20.
Une vérification par Black & Scholes confirme le calcul (prix exact 5.23).



Pour estimer le Delta, un dernier tableau est nécessaire.
On sait que le Delta à la monnaie du Call à l’échéance est exactement de 0.5.
En utilisant notre série de maturités 1, 3, 6, 12, quelque soit la volatilité, on écrit la suite à partir de 0.5, de 2 centimes en 2 centimes à la hausse pour le Call, à la baisse pour le Put.
 

Dans notre exemple, nous approximons un Delta du Call à environ 0.55, et un Delta du Put à environ -0.45.
La formule de Black & Scholes donne respectivement 0.5516 et -0.4484.

Ce modèle PC30 est adapté à l’estimation rapide (presque de tête une fois le tableau maîtrisé) des options à la monnaie, donnant ainsi un ordre d’idée immédiat pour des professionnels de la finance utilisant occasionnellement ces produits (mais pas pour des arbitragistes !).
On notera également l’intérêt du PC30 pour les étudiants : il permet de confirmer le résultat d’un calcul de prix d’option lors d’un examen.